Rozwiąż 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 42x^{2}+ax+bx-3. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -5.

$$a=-14 b=9$$

Przepisz 42x^{2}-5x-3 jako \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

14x w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-1=0 i 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 42 do a, -5 do b i -3 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Podnieś do kwadratu -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Pomnóż -4 przez 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Pomnóż -168 przez -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Dodaj 25 do 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Liczba przeciwna do -5 to 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Pomnóż 2 przez 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{5±23}{84} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 5 do 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Zredukuj ułamek \frac{28}{84} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{5±23}{84} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 23 od 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Zredukuj ułamek \frac{-18}{84} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Dodaj 3 do obu stron równania.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Odjęcie -3 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Odejmij -3 od 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Podziel obie strony przez 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Dzielenie przez 42 cofa mnożenie przez 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Zredukuj ułamek \frac{3}{42} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Podziel -\frac{5}{42}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{5}{84}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{5}{84} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{5}{84}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Dodaj \frac{1}{14} do \frac{25}{7056}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Uprość.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Dodaj \frac{5}{84} do obu stron równania.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$