Rozwiąż 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Rozwiąż względem x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 40x^{2}+ax+bx+1. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -14.

$$a=-10 b=-4$$

Przepisz 40x^{2}-14x+1 jako \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

10x w pierwszej i -1 w drugiej grupie.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 4x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 4x-1=0 i 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 40 do a, -14 do b i 1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Podnieś do kwadratu -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Pomnóż -4 przez 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Dodaj 196 do -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Liczba przeciwna do -14 to 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Pomnóż 2 przez 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{14±6}{80} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 14 do 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Zredukuj ułamek \frac{20}{80} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{14±6}{80} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 6 od 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Zredukuj ułamek \frac{8}{80} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Odjęcie 1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Podziel obie strony przez 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Dzielenie przez 40 cofa mnożenie przez 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Zredukuj ułamek \frac{-14}{40} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Podziel -\frac{7}{20}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{7}{40}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{7}{40} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{7}{40}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Dodaj -\frac{1}{40} do \frac{49}{1600}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Uprość.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Dodaj \frac{7}{40} do obu stron równania.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$