Rozwiąż 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$4x-y=5$$

Dodaj y do obu stron równania.

$$4x=y+5$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Podstaw \frac{5+y}{4} do x w drugim równaniu: -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Pomnóż -4 przez \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Dodaj -y do 5y.

$$4y-5=7$$

Dodaj 5 do obu stron równania.

$$4y=12$$

Podziel obie strony przez 4.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Dodaj \frac{5}{4} do \frac{3}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=2,y=3$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=2,y=3$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Aby czynniki 4x i -4x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -4 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Uprość.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Odejmij -16x+20y=28 od -16x+4y=-20, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Dodaj -16x do 16x. Czynniki -16x i 16x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$4y-20y=-20-28$$

Dodaj 4y do -20y.

$$-16y=-20-28$$

Dodaj -20 do -28.

$$-16y=-48$$

Podziel obie strony przez -16.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu -4x+5y=7. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Pomnóż 5 przez 3.

$$-4x+15=7$$

Odejmij 15 od obu stron równania.

$$-4x=-8$$

Podziel obie strony przez -4.

$$x=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=2,y=3$$