Rozwiąż 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$4x-5y=2$$

Dodaj 5y do obu stron równania.

$$4x=5y+2$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Podstaw \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} do x w drugim równaniu: x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Dodaj \frac{5y}{4} do 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{45}{4}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=\frac{18}{5}$$

Podstaw \frac{18}{5} do y w równaniu x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Pomnóż \frac{5}{4} przez \frac{18}{5}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do \frac{9}{2}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Aby czynniki 4x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Uprość.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Odejmij 4x+40y=164 od 4x-5y=2, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Dodaj 4x do -4x. Czynniki 4x i -4x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-5y-40y=2-164$$

Dodaj -5y do -40y.

$$-45y=2-164$$

Dodaj 2 do -164.

$$-45y=-162$$

Podziel obie strony przez -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Podstaw \frac{18}{5} do y w równaniu x+10y=41. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Pomnóż 10 przez \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Odejmij 36 od obu stron równania.

$$x=5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$