Rozwiąż 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$4x-5y=-14$$

Dodaj 5y do obu stron równania.

$$4x=5y-14$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Podstaw \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} do x w drugim równaniu: 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Pomnóż 7 przez \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Dodaj \frac{35y}{4} do y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Dodaj \frac{49}{2} do obu stron równania.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{39}{4}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=2$$

Podstaw 2 do y w równaniu x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Pomnóż \frac{5}{4} przez 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Dodaj -\frac{7}{2} do \frac{5}{2}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1,y=2$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-1,y=2$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Aby czynniki 4x i 7x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 7 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Uprość.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Odejmij 28x+4y=-20 od 28x-35y=-98, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Dodaj 28x do -28x. Czynniki 28x i -28x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-35y-4y=-98+20$$

Dodaj -35y do -4y.

$$-39y=-98+20$$

Dodaj -98 do 20.

$$-39y=-78$$

Podziel obie strony przez -39.

$$y=2$$

Podstaw 2 do y w równaniu 7x+y=-5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$7x+2=-5$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$7x=-7$$

Podziel obie strony przez 7.

$$x=-1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1,y=2$$