Rozwiąż 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx-5. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-5 b=4$$

Przepisz 4x^{2}-x-5 jako \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias x w 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 4x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 4x-5=0 i x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}-x-5=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -1 do b i -5 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Dodaj 1 do 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -1 to 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±9}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 1 do 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{10}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±9}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 9 od 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Podziel -8 przez 8.

$$x=-1$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Dodaj 5 do obu stron równania.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Odjęcie -5 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Odejmij -5 od 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Podziel -\frac{1}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{8}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Dodaj \frac{5}{4} do \frac{1}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Dodaj \frac{1}{8} do obu stron równania.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$