Rozwiąż 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1,882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0,132782219$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -7 do b i -1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Dodaj 49 do 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -7 to 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 7 do \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij \sqrt{65} od 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Dodaj 1 do obu stron równania.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Odjęcie -1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Odejmij -1 od 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Podziel -\frac{7}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{7}{8}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{7}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{7}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Dodaj \frac{1}{4} do \frac{49}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Uprość.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Dodaj \frac{7}{8} do obu stron równania.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$