Rozwiąż 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx+1. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -5.

$$a=-4 b=-1$$

Przepisz 4x^{2}-5x+1 jako \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

4x w pierwszej i -1 w drugiej grupie.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-1=0 i 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -5 do b i 1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Dodaj 25 do -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -5 to 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{5±3}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 5 do 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Podziel 8 przez 8.

$$x=1$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{5±3}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 3 od 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{2}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Odjęcie 1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Podziel -\frac{5}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{5}{8}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{5}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{5}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Dodaj -\frac{1}{4} do \frac{25}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Uprość.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Dodaj \frac{5}{8} do obu stron równania.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$