Rozwiąż 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx+1. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -4.

$$a=-2 b=-2$$

Przepisz 4x^{2}-4x+1 jako \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

2x w pierwszej i -1 w drugiej grupie.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Przepisz jako kwadrat dwumianu.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Aby znaleźć rozwiązanie równania, rozwiąż: 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -4 do b i 1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Dodaj 16 do -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -4 to 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{4}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Odjęcie 1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Podziel -4 przez 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Podziel -1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Dodaj -\frac{1}{4} do \frac{1}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Współczynnik x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Dodaj \frac{1}{2} do obu stron równania.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane. Rozwiązania są takie same.

$$x=\frac{1}{2}$$