Rozwiąż 4x^2-18x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 9 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 9}{4} \approx 3,927050983$$

$$x=\frac{9-3\sqrt{5}}{4}\approx 0,572949017$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}-18x+9=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -18 do b i 9 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 9}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez 9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-144}}{2\times 4}$$

Dodaj 324 do -144.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{180}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 180.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±6\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -18 to 18.

$$x=\frac{18±6\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{18±6\sqrt{5}}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{18±6\sqrt{5}}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 18 do 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+18}{8}$$

Podziel 18+6\sqrt{5} przez 8.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+9}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{18±6\sqrt{5}}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 6\sqrt{5} od 18.

$$x=\frac{18-6\sqrt{5}}{8}$$

Podziel 18-6\sqrt{5} przez 8.

$$x=\frac{9-3\sqrt{5}}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+9}{4} x=\frac{9-3\sqrt{5}}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+9=0$$

Odejmij 9 od obu stron równania.

$$4x^{2}-18x+9-9=-9$$

Odjęcie 9 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-18x=-9$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{-18}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Podziel -\frac{9}{2}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{9}{4}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{9}{4} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{9}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{81}{16}$$

Dodaj -\frac{9}{4} do \frac{81}{16}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{45}{16}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{45}{16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{16}}$$

Uprość.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{3\sqrt{5}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{3\sqrt{5}}{4}$$

Dodaj \frac{9}{4} do obu stron równania.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+9}{4} x=\frac{9-3\sqrt{5}}{4}$$