Rozwiąż 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx-27. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -12.

$$a=-18 b=6$$

Przepisz 4x^{2}-12x-27 jako \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

2x w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-9, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-9=0 i 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -12 do b i -27 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Dodaj 144 do 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -12 to 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{12±24}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 12 do 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{36}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{12±24}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 24 od 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{-12}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Dodaj 27 do obu stron równania.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Odjęcie -27 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Odejmij -27 od 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Podziel -12 przez 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Podziel -3, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{3}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{3}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{3}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Dodaj \frac{27}{4} do \frac{9}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Współczynnik x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Uprość.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Dodaj \frac{3}{2} do obu stron równania.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$