Rozwiąż 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Odejmij 16 od obu stron równania.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Odjęcie 16 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Odejmij 16 od 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -11 do b i 14 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Dodaj 121 do -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -11 to 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 11 do i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij i\sqrt{103} od 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Odejmij 30 od obu stron równania.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Odjęcie 30 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Odejmij 30 od 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{-14}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Podziel -\frac{11}{4}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{11}{8}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{11}{8} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{11}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Dodaj -\frac{7}{2} do \frac{121}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Uprość.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Dodaj \frac{11}{8} do obu stron równania.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$