Rozwiąż 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx-81. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 48.

$$a=-6 b=54$$

Przepisz 4x^{2}+48x-81 jako \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

2x w pierwszej i 27 w drugiej grupie.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-3=0 i 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, 48 do b i -81 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Dodaj 2304 do 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-48±60}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -48 do 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{12}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-48±60}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 60 od -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{-108}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Dodaj 81 do obu stron równania.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Odjęcie -81 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Odejmij -81 od 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Podziel 48 przez 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Podziel 12, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać 6. Następnie Dodaj kwadrat 6 do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Podnieś do kwadratu 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Dodaj \frac{81}{4} do 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Współczynnik x^{2}+12x+36. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Uprość.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Odejmij 6 od obu stron równania.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$