Rozwiąż 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, 4 do b i 9 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Dodaj 16 do -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -4 do 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Podziel -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} przez 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 8i\sqrt{2} od -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Podziel -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} przez 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Odejmij 9 od obu stron równania.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Odjęcie 9 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Podziel 4 przez 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Podziel 1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Dodaj -\frac{9}{4} do \frac{1}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Współczynnik x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Uprość.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$