Rozwiąż 4x^2+12x+19=0

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1,5+1,58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1,5-1,58113883i$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, 12 do b i 19 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez 19.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

Dodaj 144 do -304.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -160.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -12 do 4i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

Podziel -12+4i\sqrt{10} przez 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 4i\sqrt{10} od -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

Podziel -12-4i\sqrt{10} przez 8.

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Odejmij 19 od obu stron równania.

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

Odjęcie 19 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}+12x=-19$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

Podziel 12 przez 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

Podziel 3, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{3}{2}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{3}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{3}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

Dodaj -\frac{19}{4} do \frac{9}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

Współczynnik x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Uprość.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Odejmij \frac{3}{2} od obu stron równania.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$