Rozwiąż 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx-20. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 11.

$$a=-5 b=16$$

Przepisz 4x^{2}+11x-20 jako \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

x w pierwszej i 4 w drugiej grupie.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 4x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 4x-5=0 i x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, 11 do b i -20 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Dodaj 121 do 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-11±21}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -11 do 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{10}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-11±21}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 21 od -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Podziel -32 przez 8.

$$x=-4$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Dodaj 20 do obu stron równania.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Odjęcie -20 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Odejmij -20 od 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Podziel 20 przez 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Podziel \frac{11}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{11}{8}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{11}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{11}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Dodaj 5 do \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Uprość.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Odejmij \frac{11}{8} od obu stron równania.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$