Rozwiąż 4v^2+16v=65

$$4 v ^ { 2 } + 16 v = 65$$

Rozwiąż względem v

$$v = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$v = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 65 od obu stron.

$$4v^{2}+16v-65=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4v^{2}+av+bv-65. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=16 ab=4\left(-65\right)=-260$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -260.

$$-1,260 -2,130 -4,65 -5,52 -10,26 -13,20$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+260=259 -2+130=128 -4+65=61 -5+52=47 -10+26=16 -13+20=7$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 16.

$$a=-10 b=26$$

Przepisz 4v^{2}+16v-65 jako \left(4v^{2}-10v\right)+\left(26v-65\right).

$$\left(4v^{2}-10v\right)+\left(26v-65\right)$$

2v w pierwszej i 13 w drugiej grupie.

$$2v\left(2v-5\right)+13\left(2v-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2v-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2v-5\right)\left(2v+13\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2v-5=0 i 2v+13=0.

$$v=\frac{5}{2} v=-\frac{13}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4v^{2}+16v=65$$

Odejmij 65 od obu stron równania.

$$4v^{2}+16v-65=65-65$$

Odjęcie 65 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4v^{2}+16v-65=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, 16 do b i -65 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 4\left(-65\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu 16.

$$v=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 4\left(-65\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$v=\frac{-16±\sqrt{256-16\left(-65\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -65.

$$v=\frac{-16±\sqrt{256+1040}}{2\times 4}$$

Dodaj 256 do 1040.

$$v=\frac{-16±\sqrt{1296}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1296.

$$v=\frac{-16±36}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$v=\frac{-16±36}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie v=\frac{-16±36}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -16 do 36.

$$v=\frac{20}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{20}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$v=\frac{5}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie v=\frac{-16±36}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 36 od -16.

$$v=-\frac{52}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{-52}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$v=-\frac{13}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$v=\frac{5}{2} v=-\frac{13}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4v^{2}+16v=65$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4v^{2}+16v}{4}=\frac{65}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$v^{2}+\frac{16}{4}v=\frac{65}{4}$$

Podziel 16 przez 4.

$$v^{2}+4v=\frac{65}{4}$$

Podziel 4, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać 2. Następnie Dodaj kwadrat 2 do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$v^{2}+4v+2^{2}=\frac{65}{4}+2^{2}$$

Podnieś do kwadratu 2.

$$v^{2}+4v+4=\frac{65}{4}+4$$

Dodaj \frac{65}{4} do 4.

$$v^{2}+4v+4=\frac{81}{4}$$

Współczynnik v^{2}+4v+4. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+2\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(v+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Uprość.

$$v+2=\frac{9}{2} v+2=-\frac{9}{2}$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$v=\frac{5}{2} v=-\frac{13}{2}$$