Rozwiąż 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Rozwiąż względem n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 11 od obu stron.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4n^{2}+an+bn-11. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -7.

$$a=-11 b=4$$

Przepisz 4n^{2}-7n-11 jako \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Wyłącz przed nawias n w 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 4n-11, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 4n-11=0 i n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4n^{2}-7n=11$$

Odejmij 11 od obu stron równania.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Odjęcie 11 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -7 do b i -11 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Dodaj 49 do 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -7 to 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{7±15}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 7 do 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{22}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{7±15}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 15 od 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Podziel -8 przez 8.

$$n=-1$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Podziel -\frac{7}{4}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{7}{8}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{7}{8} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{7}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Dodaj \frac{11}{4} do \frac{49}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Uprość.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Dodaj \frac{7}{8} do obu stron równania.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$