Rozwiąż 4(x-3)^2-28(x-3)=-49

$$4 ( x - 3 ) ^ { 2 } - 28 ( x - 3 ) = - 49$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)-28\left(x-3\right)=-49$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez x^{2}-6x+9.

$$4x^{2}-24x+36-28\left(x-3\right)=-49$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -28 przez x-3.

$$4x^{2}-24x+36-28x+84=-49$$

Połącz -24x i -28x, aby uzyskać -52x.

$$4x^{2}-52x+36+84=-49$$

Dodaj 36 i 84, aby uzyskać 120.

$$4x^{2}-52x+120=-49$$

Dodaj 49 do obu stron.

$$4x^{2}-52x+120+49=0$$

Dodaj 120 i 49, aby uzyskać 169.

$$4x^{2}-52x+169=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx+169. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-52 ab=4\times 169=676$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 676.

$$-1,-676 -2,-338 -4,-169 -13,-52 -26,-26$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-676=-677 -2-338=-340 -4-169=-173 -13-52=-65 -26-26=-52$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -52.

$$a=-26 b=-26$$

Przepisz 4x^{2}-52x+169 jako \left(4x^{2}-26x\right)+\left(-26x+169\right).

$$\left(4x^{2}-26x\right)+\left(-26x+169\right)$$

2x w pierwszej i -13 w drugiej grupie.

$$2x\left(2x-13\right)-13\left(2x-13\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-13, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-13\right)\left(2x-13\right)$$

Przepisz jako kwadrat dwumianu.

$$\left(2x-13\right)^{2}$$

Aby znaleźć rozwiązanie równania, rozwiąż: 2x-13=0.

$$x=\frac{13}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)-28\left(x-3\right)=-49$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez x^{2}-6x+9.

$$4x^{2}-24x+36-28\left(x-3\right)=-49$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -28 przez x-3.

$$4x^{2}-24x+36-28x+84=-49$$

Połącz -24x i -28x, aby uzyskać -52x.

$$4x^{2}-52x+36+84=-49$$

Dodaj 36 i 84, aby uzyskać 120.

$$4x^{2}-52x+120=-49$$

Dodaj 49 do obu stron.

$$4x^{2}-52x+120+49=0$$

Dodaj 120 i 49, aby uzyskać 169.

$$4x^{2}-52x+169=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -52 do b i 169 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\times 4\times 169}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu -52.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-4\times 4\times 169}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-16\times 169}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez 169.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-2704}}{2\times 4}$$

Dodaj 2704 do -2704.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 0.

$$x=-\frac{-52}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -52 to 52.

$$x=\frac{52}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{52}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{52}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=\frac{13}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)-28\left(x-3\right)=-49$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez x^{2}-6x+9.

$$4x^{2}-24x+36-28\left(x-3\right)=-49$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -28 przez x-3.

$$4x^{2}-24x+36-28x+84=-49$$

Połącz -24x i -28x, aby uzyskać -52x.

$$4x^{2}-52x+36+84=-49$$

Dodaj 36 i 84, aby uzyskać 120.

$$4x^{2}-52x+120=-49$$

Odejmij 120 od obu stron.

$$4x^{2}-52x=-49-120$$

Odejmij 120 od -49, aby uzyskać -169.

$$4x^{2}-52x=-169$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}-52x}{4}=-\frac{169}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{52}{4}\right)x=-\frac{169}{4}$$

Podziel -52 przez 4.

$$x^{2}-13x=-\frac{169}{4}$$

Podziel -13, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{13}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{13}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-\frac{169}{4}+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{13}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{-169+169}{4}$$

Dodaj -\frac{169}{4} do \frac{169}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=0$$

Współczynnik x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=0$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Uprość.

$$x-\frac{13}{2}=0 x-\frac{13}{2}=0$$

Dodaj \frac{13}{2} do obu stron równania.

$$x=\frac{13}{2} x=\frac{13}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane. Rozwiązania są takie same.

$$x=\frac{13}{2}$$