Rozwiąż 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Odejmij 169 od 4, aby uzyskać -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx-165. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 8.

$$a=-22 b=30$$

Przepisz 4x^{2}+8x-165 jako \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

2x w pierwszej i 15 w drugiej grupie.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-11, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-11=0 i 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Odejmij 169 od 4, aby uzyskać -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, 8 do b i -165 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Dodaj 64 do 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-8±52}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -8 do 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{44}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-8±52}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 52 od -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{-60}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Odejmij 169 od 4, aby uzyskać -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Dodaj 165 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$4x^{2}+8x=165$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Podziel 8 przez 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Podziel 2, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać 1. Następnie Dodaj kwadrat 1 do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Podnieś do kwadratu 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Dodaj \frac{165}{4} do 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Współczynnik x^{2}+2x+1. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Uprość.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$