Rozwiąż 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx-15. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -4.

$$a=-10 b=6$$

Przepisz 4x^{2}-4x-15 jako \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

2x w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-5=0 i 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -4 do b i -15 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Dodaj 16 do 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -4 to 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{4±16}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 4 do 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{20}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{4±16}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 16 od 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{-12}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Dodaj 15 do obu stron równania.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odjęcie -15 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Odejmij -15 od 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Podziel -4 przez 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Podziel -1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Dodaj \frac{15}{4} do \frac{1}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Współczynnik x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Dodaj \frac{1}{2} do obu stron równania.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$