Rozwiąż 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Rozwiąż względem x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 120 od obu stron.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-30. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 1.

$$a=-5 b=6$$

Przepisz x^{2}+x-30 jako \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

x w pierwszej i 6 w drugiej grupie.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-5=0 i x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}+4x=120$$

Odejmij 120 od obu stron równania.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Odjęcie 120 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, 4 do b i -120 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Dodaj 16 do 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-4±44}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -4 do 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Podziel 40 przez 8.

$$x=5$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-4±44}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 44 od -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Podziel -48 przez 8.

$$x=-6$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=5 x=-6$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Podziel 4 przez 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Podziel 120 przez 4.

$$x^{2}+x=30$$

Podziel 1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Dodaj 30 do \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Współczynnik x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Uprość.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$x=5 x=-6$$