Rozwiąż 30b^2-28b-16=0

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Rozwiąż względem b

$$b=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Podziel obie strony przez 2.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 15b^{2}+ab+bb-8. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -14.

$$a=-20 b=6$$

Przepisz 15b^{2}-14b-8 jako \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right).

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

5b w pierwszej i 2 w drugiej grupie.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3b-4, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3b-4=0 i 5b+2=0.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 30 do a, -28 do b i -16 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Podnieś do kwadratu -28.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Pomnóż -4 przez 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Pomnóż -120 przez -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Dodaj 784 do 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2704.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

Liczba przeciwna do -28 to 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Pomnóż 2 przez 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Teraz rozwiąż równanie b=\frac{28±52}{60} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 28 do 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

Zredukuj ułamek \frac{80}{60} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 20.

$$b=\frac{4}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie b=\frac{28±52}{60} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 52 od 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

Zredukuj ułamek \frac{-24}{60} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 12.

$$b=-\frac{2}{5}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Dodaj 16 do obu stron równania.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Odjęcie -16 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

Odejmij -16 od 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Podziel obie strony przez 30.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

Dzielenie przez 30 cofa mnożenie przez 30.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{-28}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{16}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Podziel -\frac{14}{15}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{7}{15}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{7}{15} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{7}{15}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

Dodaj \frac{8}{15} do \frac{49}{225}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Współczynnik b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Uprość.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Dodaj \frac{7}{15} do obu stron równania.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$