Rozwiąż 3y^2-y-4=0

$$3 y ^ { 2 } - y - 4 = 0$$

Rozwiąż względem y

$$y=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3y^{2}+ay+by-4. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-4 b=3$$

Przepisz 3y^{2}-y-4 jako \left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right).

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right)$$

Wyłącz przed nawias y w 3y^{2}-4y.

$$y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3y-4, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3y-4\right)\left(y+1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3y-4=0 i y+1=0.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3y^{2}-y-4=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, -1 do b i -4 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -4.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Dodaj 1 do 48.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 49.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

Liczba przeciwna do -1 to 1.

$$y=\frac{1±7}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$y=\frac{1±7}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie y=\frac{1±7}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 1 do 7.

$$y=\frac{8}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{8}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie y=\frac{1±7}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 7 od 1.

$$y=-\frac{6}{6}$$

Podziel -6 przez 6.

$$y=-1$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Dodaj 4 do obu stron równania.

$$3y^{2}-y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Odjęcie -4 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3y^{2}-y=-\left(-4\right)$$

Odejmij -4 od 0.

$$3y^{2}-y=4$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3y^{2}-y}{3}=\frac{4}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

Podziel -\frac{1}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{6}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{6} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{6}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Dodaj \frac{4}{3} do \frac{1}{36}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Współczynnik y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Uprość.

$$y-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} y-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Dodaj \frac{1}{6} do obu stron równania.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$