Rozwiąż 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Wybierz jeden z równania i rozwiązać go dla x izolując x na lewej stronie znaku równości.

$$3x-y=2$$

Dodaj y do obu stron równania.

$$3x=y+2$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Podstaw \frac{2+y}{3} do x w drugim równaniu: 2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Pomnóż 2 przez \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

Dodaj \frac{2y}{3} do -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Odejmij \frac{4}{3} od obu stron równania.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Pomnóż obie strony przez -3.

$$y=-5$$

Podstaw -5 do y w równaniu x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez -5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Dodaj \frac{2}{3} do -\frac{5}{3}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1,y=-5$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie macierzy na lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Dla macierzy 2\times 2 równej \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), więc równanie macierzy można zapisać jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-1,y=-5$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Odejmij 2x-y=3 od 3x-y=2, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

Dodaj -y do y. Czynniki -y i y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$3x-2x=2-3$$

Dodaj 3x do -2x.

$$x=2-3$$

Dodaj 2 do -3.

$$x=-1$$

Podstaw -1 do x w równaniu 2x-y=3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$-2-y=3$$

Dodaj 2 do obu stron równania.

$$-y=5$$

Podziel obie strony przez -1.

$$y=-5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1,y=-5$$