Rozwiąż 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$3x-5y=4$$

Dodaj 5y do obu stron równania.

$$3x=5y+4$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Podstaw \frac{5y+4}{3} do x w drugim równaniu: 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Pomnóż 9 przez \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Dodaj 15y do -2y.

$$13y+12=7$$

Odejmij 12 od obu stron równania.

$$13y=-5$$

Podziel obie strony przez 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Podstaw -\frac{5}{13} do y w równaniu x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Pomnóż \frac{5}{3} przez -\frac{5}{13}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Dodaj \frac{4}{3} do -\frac{25}{39}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=\frac{9}{13}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Aby czynniki 3x i 9x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 9 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Uprość.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Odejmij 27x-6y=21 od 27x-45y=36, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Dodaj 27x do -27x. Czynniki 27x i -27x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-45y+6y=36-21$$

Dodaj -45y do 6y.

$$-39y=36-21$$

Dodaj 36 do -21.

$$-39y=15$$

Podziel obie strony przez -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Podstaw -\frac{5}{13} do y w równaniu 9x-2y=7. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Pomnóż -2 przez -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Odejmij \frac{10}{13} od obu stron równania.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Podziel obie strony przez 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$