Rozwiąż 3x^2-9x-84=0?

$$3 x ^ { 2 } - 9 x - 84 = 0 ?$$

Rozwiąż względem x

$$x=-4$$

$$x=7$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Podziel obie strony przez 3.

$$x^{2}-3x-28=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-28. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -3.

$$a=-7 b=4$$

Przepisz x^{2}-3x-28 jako \left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(4x-28\right)$$

x w pierwszej i 4 w drugiej grupie.

$$x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-7, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-7\right)\left(x+4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-7=0 i x+4=0.

$$x=7 x=-4$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3x^{2}-9x-84=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, -9 do b i -84 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Dodaj 81 do 1008.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1089.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±33}{2\times 3}$$

Liczba przeciwna do -9 to 9.

$$x=\frac{9±33}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$x=\frac{9±33}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{9±33}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 9 do 33.

$$x=\frac{42}{6}$$

Podziel 42 przez 6.

$$x=7$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{9±33}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 33 od 9.

$$x=-\frac{24}{6}$$

Podziel -24 przez 6.

$$x=-4$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=7 x=-4$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-9x-84=0$$

Dodaj 84 do obu stron równania.

$$3x^{2}-9x-84-\left(-84\right)=-\left(-84\right)$$

Odjęcie -84 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3x^{2}-9x=-\left(-84\right)$$

Odejmij -84 od 0.

$$3x^{2}-9x=84$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3x^{2}-9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{3}\right)x=\frac{84}{3}$$

Podziel -9 przez 3.

$$x^{2}-3x=\frac{84}{3}$$

Podziel 84 przez 3.

$$x^{2}-3x=28$$

Podziel -3, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{3}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{3}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{3}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Dodaj 28 do \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Współczynnik x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Dodaj \frac{3}{2} do obu stron równania.

$$x=7 x=-4$$