Rozwiąż 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx+84. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -32.

$$a=-18 b=-14$$

Przepisz 3x^{2}-32x+84 jako \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

3x w pierwszej i -14 w drugiej grupie.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-6, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-6=0 i 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, -32 do b i 84 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Dodaj 1024 do -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Liczba przeciwna do -32 to 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{32±4}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 32 do 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Podziel 36 przez 6.

$$x=6$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{32±4}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 4 od 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{28}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Odejmij 84 od obu stron równania.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Odjęcie 84 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Podziel -84 przez 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Podziel -\frac{32}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{16}{3}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{16}{3} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{16}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Dodaj -28 do \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Uprość.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Dodaj \frac{16}{3} do obu stron równania.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$