Rozwiąż 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx-16. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -2.

$$a=-8 b=6$$

Przepisz 3x^{2}-2x-16 jako \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

x w pierwszej i 2 w drugiej grupie.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-8, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-8=0 i x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, -2 do b i -16 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Dodaj 4 do 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Liczba przeciwna do -2 to 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{2±14}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 2 do 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{16}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{2±14}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 14 od 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Podziel -12 przez 6.

$$x=-2$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Dodaj 16 do obu stron równania.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Odjęcie -16 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Odejmij -16 od 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Podziel -\frac{2}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{3}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{3} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Dodaj \frac{16}{3} do \frac{1}{9}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dodaj \frac{1}{3} do obu stron równania.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$