Rozwiąż 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 6y od obu stron.

$$3x+9-6y=0$$

Odejmij 9 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$3x-6y=-9$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj 12 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$-2x-2y=12$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$3x-6y=-9$$

Dodaj 6y do obu stron równania.

$$3x=6y-9$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez 6y-9.

$$x=2y-3$$

Podstaw 2y-3 do x w drugim równaniu: -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Pomnóż -2 przez 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Dodaj -4y do -2y.

$$-6y+6=12$$

Odejmij 6 od obu stron równania.

$$-6y=6$$

Podziel obie strony przez -6.

$$y=-1$$

Podstaw -1 do y w równaniu x=2y-3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$x=-2-3$$

Dodaj -3 do -2.

$$x=-5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-5,y=-1$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 6y od obu stron.

$$3x+9-6y=0$$

Odejmij 9 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$3x-6y=-9$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj 12 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$-2x-2y=12$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-5,y=-1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij 6y od obu stron.

$$3x+9-6y=0$$

Odejmij 9 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$3x-6y=-9$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj 12 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$-2x-2y=12$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Aby czynniki 3x i -2x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -2 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Uprość.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Odejmij -6x-6y=36 od -6x+12y=18, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Dodaj -6x do 6x. Czynniki -6x i 6x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$12y+6y=18-36$$

Dodaj 12y do 6y.

$$18y=18-36$$

Dodaj 18 do -36.

$$18y=-18$$

Podziel obie strony przez 18.

$$y=-1$$

Podstaw -1 do y w równaniu -2x-2y=12. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Pomnóż -2 przez -1.

$$-2x+2=12$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$-2x=10$$

Podziel obie strony przez -2.

$$x=-5$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-5,y=-1$$