Rozwiąż 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$3x+2y=8$$

Odejmij 2y od obu stron równania.

$$3x=-2y+8$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Podstaw \frac{-2y+8}{3} do x w drugim równaniu: 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Pomnóż 5 przez \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Dodaj -\frac{10y}{3} do -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Odejmij \frac{40}{3} od obu stron równania.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Podziel obie strony równania przez -\frac{22}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Dodaj \frac{8}{3} do -\frac{2}{3}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=2,y=1$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=2,y=1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Aby czynniki 3x i 5x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 5 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Uprość.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Odejmij 15x-12y=18 od 15x+10y=40, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Dodaj 15x do -15x. Czynniki 15x i -15x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$10y+12y=40-18$$

Dodaj 10y do 12y.

$$22y=40-18$$

Dodaj 40 do -18.

$$22y=22$$

Podziel obie strony przez 22.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu 5x-4y=6. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$5x-4=6$$

Dodaj 4 do obu stron równania.

$$5x=10$$

Podziel obie strony przez 5.

$$x=2$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=2,y=1$$