Rozwiąż 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Rozwiąż względem n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3n^{2}+an+bn-15. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -4.

$$a=-9 b=5$$

Przepisz 3n^{2}-4n-15 jako \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

3n w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik n-3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: n-3=0 i 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, -4 do b i -15 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Dodaj 16 do 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Liczba przeciwna do -4 to 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{4±14}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 4 do 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Podziel 18 przez 6.

$$n=3$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{4±14}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 14 od 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{-10}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Dodaj 15 do obu stron równania.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odjęcie -15 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Odejmij -15 od 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Podziel 15 przez 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Podziel -\frac{4}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{2}{3}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{2}{3} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{2}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Dodaj 5 do \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Współczynnik n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Uprość.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dodaj \frac{2}{3} do obu stron równania.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$