Rozwiąż 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Rozwiąż względem n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 8 od obu stron.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3n^{2}+an+bn-8. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 10.

$$a=-2 b=12$$

Przepisz 3n^{2}+10n-8 jako \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

n w pierwszej i 4 w drugiej grupie.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3n-2, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3n-2=0 i n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3n^{2}+10n=8$$

Odejmij 8 od obu stron równania.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Odjęcie 8 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, 10 do b i -8 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Dodaj 100 do 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{-10±14}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -10 do 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{4}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{-10±14}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 14 od -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Podziel -24 przez 6.

$$n=-4$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Podziel \frac{10}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{5}{3}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{5}{3} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{5}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Dodaj \frac{8}{3} do \frac{25}{9}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Współczynnik n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Uprość.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Odejmij \frac{5}{3} od obu stron równania.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$