Rozwiąż 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx-60. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -31.

$$a=-36 b=5$$

Przepisz 3x^{2}-31x-60 jako \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

3x w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-12, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-12=0 i 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, -31 do b i -60 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Dodaj 961 do 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Liczba przeciwna do -31 to 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{31±41}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 31 do 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Podziel 72 przez 6.

$$x=12$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{31±41}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 41 od 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{-10}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Dodaj 60 do obu stron równania.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Odjęcie -60 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Odejmij -60 od 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Podziel 60 przez 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Podziel -\frac{31}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{31}{6}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{31}{6} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{31}{6}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Dodaj 20 do \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Uprość.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Dodaj \frac{31}{6} do obu stron równania.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$