Rozwiąż 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 138 od obu stron.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx-138. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 5.

$$a=-18 b=23$$

Przepisz 3x^{2}+5x-138 jako \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

3x w pierwszej i 23 w drugiej grupie.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-6, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-6=0 i 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3x^{2}+5x=138$$

Odejmij 138 od obu stron równania.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Odjęcie 138 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, 5 do b i -138 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Dodaj 25 do 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-5±41}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -5 do 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Podziel 36 przez 6.

$$x=6$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-5±41}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 41 od -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{-46}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Podziel 138 przez 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Podziel \frac{5}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{5}{6}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{5}{6} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{5}{6}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Dodaj 46 do \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Uprość.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Odejmij \frac{5}{6} od obu stron równania.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$