Rozwiąż 3x^2+53x-720=0

$$3 { x }^{ 2 } +53x-720=0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{80}{3} = -26\frac{2}{3} \approx -26,666666667$$

$$x=9$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx-720. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=53 ab=3\left(-720\right)=-2160$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -2160.

$$-1,2160 -2,1080 -3,720 -4,540 -5,432 -6,360 -8,270 -9,240 -10,216 -12,180 -15,144 -16,135 -18,120 -20,108 -24,90 -27,80 -30,72 -36,60 -40,54 -45,48$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+2160=2159 -2+1080=1078 -3+720=717 -4+540=536 -5+432=427 -6+360=354 -8+270=262 -9+240=231 -10+216=206 -12+180=168 -15+144=129 -16+135=119 -18+120=102 -20+108=88 -24+90=66 -27+80=53 -30+72=42 -36+60=24 -40+54=14 -45+48=3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 53.

$$a=-27 b=80$$

Przepisz 3x^{2}+53x-720 jako \left(3x^{2}-27x\right)+\left(80x-720\right).

$$\left(3x^{2}-27x\right)+\left(80x-720\right)$$

3x w pierwszej i 80 w drugiej grupie.

$$3x\left(x-9\right)+80\left(x-9\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-9, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-9\right)\left(3x+80\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-9=0 i 3x+80=0.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3x^{2}+53x-720=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, 53 do b i -720 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 3\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu 53.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 3\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809-12\left(-720\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -720.

$$x=\frac{-53±\sqrt{2809+8640}}{2\times 3}$$

Dodaj 2809 do 8640.

$$x=\frac{-53±\sqrt{11449}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 11449.

$$x=\frac{-53±107}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$x=\frac{-53±107}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-53±107}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -53 do 107.

$$x=\frac{54}{6}$$

Podziel 54 przez 6.

$$x=9$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-53±107}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 107 od -53.

$$x=-\frac{160}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{-160}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{80}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+53x-720=0$$

Dodaj 720 do obu stron równania.

$$3x^{2}+53x-720-\left(-720\right)=-\left(-720\right)$$

Odjęcie -720 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3x^{2}+53x=-\left(-720\right)$$

Odejmij -720 od 0.

$$3x^{2}+53x=720$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3x^{2}+53x}{3}=\frac{720}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x=\frac{720}{3}$$

Podziel 720 przez 3.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x=240$$

Podziel \frac{53}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{53}{6}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{53}{6} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\left(\frac{53}{6}\right)^{2}=240+\left(\frac{53}{6}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{53}{6}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}=240+\frac{2809}{36}$$

Dodaj 240 do \frac{2809}{36}.

$$x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}=\frac{11449}{36}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{53}{3}x+\frac{2809}{36}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{53}{6}\right)^{2}=\frac{11449}{36}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{53}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11449}{36}}$$

Uprość.

$$x+\frac{53}{6}=\frac{107}{6} x+\frac{53}{6}=-\frac{107}{6}$$

Odejmij \frac{53}{6} od obu stron równania.

$$x=9 x=-\frac{80}{3}$$