Rozwiąż 3n^2-11n-874=0

$$3 { n }^{ 2 } -11n-874 = 0$$

Rozwiąż względem n

$$n = -\frac{46}{3} = -15\frac{1}{3} \approx -15,333333333$$

$$n=19$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3n^{2}+an+bn-874. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-11 ab=3\left(-874\right)=-2622$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -2622.

$$1,-2622 2,-1311 3,-874 6,-437 19,-138 23,-114 38,-69 46,-57$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-2622=-2621 2-1311=-1309 3-874=-871 6-437=-431 19-138=-119 23-114=-91 38-69=-31 46-57=-11$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -11.

$$a=-57 b=46$$

Przepisz 3n^{2}-11n-874 jako \left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right).

$$\left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right)$$

3n w pierwszej i 46 w drugiej grupie.

$$3n\left(n-19\right)+46\left(n-19\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik n-19, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(n-19\right)\left(3n+46\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: n-19=0 i 3n+46=0.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, -11 do b i -874 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -874.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+10488}}{2\times 3}$$

Dodaj 121 do 10488.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{10609}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 10609.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±103}{2\times 3}$$

Liczba przeciwna do -11 to 11.

$$n=\frac{11±103}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$n=\frac{11±103}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{11±103}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 11 do 103.

$$n=\frac{114}{6}$$

Podziel 114 przez 6.

$$n=19$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{11±103}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 103 od 11.

$$n=-\frac{92}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{-92}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$n=-\frac{46}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

Dodaj 874 do obu stron równania.

$$3n^{2}-11n-874-\left(-874\right)=-\left(-874\right)$$

Odjęcie -874 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3n^{2}-11n=-\left(-874\right)$$

Odejmij -874 od 0.

$$3n^{2}-11n=874$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3n^{2}-11n}{3}=\frac{874}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{874}{3}$$

Podziel -\frac{11}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{11}{6}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{11}{6} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{874}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{11}{6}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{874}{3}+\frac{121}{36}$$

Dodaj \frac{874}{3} do \frac{121}{36}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{10609}{36}$$

Współczynnik n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{10609}{36}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10609}{36}}$$

Uprość.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{103}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{103}{6}$$

Dodaj \frac{11}{6} do obu stron równania.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$