Rozwiąż 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 256x^{2}+ax+bx+1. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -32.

$$a=-16 b=-16$$

Przepisz 256x^{2}-32x+1 jako \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Wyłącz przed nawias 16x w pierwszej grupie i -1 w drugiej grupie.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 16x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Przepisz jako kwadrat dwumianu.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Aby znaleźć rozwiązanie równania, rozwiąż: 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 256 do a, -32 do b i 1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Podnieś do kwadratu -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Pomnóż -4 przez 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Dodaj 1024 do -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

Liczba przeciwna do -32 to 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Pomnóż 2 przez 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Zredukuj ułamek \frac{32}{512} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Odjęcie 1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Podziel obie strony przez 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Dzielenie przez 256 cofa mnożenie przez 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Zredukuj ułamek \frac{-32}{256} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Podziel -\frac{1}{8}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{1}{16}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{1}{16} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{16}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Dodaj -\frac{1}{256} do \frac{1}{256}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Dodaj \frac{1}{16} do obu stron równania.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Równanie jest teraz rozwiązane. Rozwiązania są takie same.

$$x=\frac{1}{16}$$