Rozwiąż 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Rozwiąż względem k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Podziel obie strony przez 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 12k^{2}+ak+bk+12. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 25.

$$a=9 b=16$$

Przepisz 12k^{2}+25k+12 jako \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

3k w pierwszej i 4 w drugiej grupie.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 4k+3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 4k+3=0 i 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 24 do a, 50 do b i 24 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Podnieś do kwadratu 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Pomnóż -4 przez 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Pomnóż -96 przez 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Dodaj 2500 do -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Pomnóż 2 przez 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Teraz rozwiąż równanie k=\frac{-50±14}{48} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -50 do 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Zredukuj ułamek \frac{-36}{48} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie k=\frac{-50±14}{48} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 14 od -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Zredukuj ułamek \frac{-64}{48} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Odejmij 24 od obu stron równania.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Odjęcie 24 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Podziel obie strony przez 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Dzielenie przez 24 cofa mnożenie przez 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{50}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Podziel -24 przez 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Podziel \frac{25}{12}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{25}{24}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{25}{24} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{25}{24}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Dodaj -1 do \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Współczynnik k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Uprość.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Odejmij \frac{25}{24} od obu stron równania.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$