Rozwiąż 21q^2+37q+12=0

$$21 q ^ { 2 } + 37 q + 12 = 0$$

Rozwiąż względem q

$$q = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$q=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 21q^{2}+aq+bq+12. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=37 ab=21\times 12=252$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 37.

$$a=9 b=28$$

Przepisz 21q^{2}+37q+12 jako \left(21q^{2}+9q\right)+\left(28q+12\right).

$$\left(21q^{2}+9q\right)+\left(28q+12\right)$$

3q w pierwszej i 4 w drugiej grupie.

$$3q\left(7q+3\right)+4\left(7q+3\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 7q+3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(7q+3\right)\left(3q+4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 7q+3=0 i 3q+4=0.

$$q=-\frac{3}{7} q=-\frac{4}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$21q^{2}+37q+12=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 21 do a, 37 do b i 12 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 21\times 12}}{2\times 21}$$

Podnieś do kwadratu 37.

$$q=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 21\times 12}}{2\times 21}$$

Pomnóż -4 przez 21.

$$q=\frac{-37±\sqrt{1369-84\times 12}}{2\times 21}$$

Pomnóż -84 przez 12.

$$q=\frac{-37±\sqrt{1369-1008}}{2\times 21}$$

Dodaj 1369 do -1008.

$$q=\frac{-37±\sqrt{361}}{2\times 21}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 361.

$$q=\frac{-37±19}{2\times 21}$$

Pomnóż 2 przez 21.

$$q=\frac{-37±19}{42}$$

Teraz rozwiąż równanie q=\frac{-37±19}{42} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -37 do 19.

$$q=-\frac{18}{42}$$

Zredukuj ułamek \frac{-18}{42} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$q=-\frac{3}{7}$$

Teraz rozwiąż równanie q=\frac{-37±19}{42} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 19 od -37.

$$q=-\frac{56}{42}$$

Zredukuj ułamek \frac{-56}{42} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 14.

$$q=-\frac{4}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$q=-\frac{3}{7} q=-\frac{4}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$21q^{2}+37q+12=0$$

Odejmij 12 od obu stron równania.

$$21q^{2}+37q+12-12=-12$$

Odjęcie 12 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$21q^{2}+37q=-12$$

Podziel obie strony przez 21.

$$\frac{21q^{2}+37q}{21}=-\frac{12}{21}$$

Dzielenie przez 21 cofa mnożenie przez 21.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q=-\frac{12}{21}$$

Zredukuj ułamek \frac{-12}{21} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 3.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q=-\frac{4}{7}$$

Podziel \frac{37}{21}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{37}{42}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{37}{42} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q+\left(\frac{37}{42}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(\frac{37}{42}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{37}{42}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q+\frac{1369}{1764}=-\frac{4}{7}+\frac{1369}{1764}$$

Dodaj -\frac{4}{7} do \frac{1369}{1764}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q+\frac{1369}{1764}=\frac{361}{1764}$$

Współczynnik q^{2}+\frac{37}{21}q+\frac{1369}{1764}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q+\frac{37}{42}\right)^{2}=\frac{361}{1764}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(q+\frac{37}{42}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{1764}}$$

Uprość.

$$q+\frac{37}{42}=\frac{19}{42} q+\frac{37}{42}=-\frac{19}{42}$$

Odejmij \frac{37}{42} od obu stron równania.

$$q=-\frac{3}{7} q=-\frac{4}{3}$$