Rozwiąż 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 20x^{2}+ax+bx-1. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-5 b=4$$

Przepisz 20x^{2}-x-1 jako \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias 5x w 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 4x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 4x-1=0 i 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$20x^{2}-x-1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 20 do a, -1 do b i -1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Pomnóż -4 przez 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Pomnóż -80 przez -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Dodaj 1 do 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Liczba przeciwna do -1 to 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Pomnóż 2 przez 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±9}{40} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 1 do 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Zredukuj ułamek \frac{10}{40} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±9}{40} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 9 od 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Zredukuj ułamek \frac{-8}{40} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Dodaj 1 do obu stron równania.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Odjęcie -1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Odejmij -1 od 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Podziel obie strony przez 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Dzielenie przez 20 cofa mnożenie przez 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Podziel -\frac{1}{20}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{40}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{40} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{40}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Dodaj \frac{1}{20} do \frac{1}{1600}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Dodaj \frac{1}{40} do obu stron równania.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$