Rozwiąż 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 2x^{2}+ax+bx-14. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -3.

$$a=-7 b=4$$

Przepisz 2x^{2}-3x-14 jako \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Wyłącz przed nawias x w pierwszej grupie i 2 w drugiej grupie.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-7, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-7=0 i x+2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, -3 do b i -14 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Dodaj 9 do 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

Liczba przeciwna do -3 to 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{3±11}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 3 do 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{14}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{3±11}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 11 od 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Podziel -8 przez 4.

$$x=-2$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Dodaj 14 do obu stron równania.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Odjęcie -14 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Odejmij -14 od 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Podziel 14 przez 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Podziel -\frac{3}{2}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{3}{4}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{3}{4} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{3}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Dodaj 7 do \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Uprość.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Dodaj \frac{3}{4} do obu stron równania.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$