Rozwiąż 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, -2 do b i -1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Dodaj 4 do 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Liczba przeciwna do -2 to 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 2 do 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Podziel 2+2\sqrt{3} przez 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 2\sqrt{3} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Podziel 2-2\sqrt{3} przez 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Dodaj 1 do obu stron równania.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Odjęcie -1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Odejmij -1 od 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Podziel -2 przez 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Podziel -1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Dodaj \frac{1}{2} do \frac{1}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Współczynnik x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do obu stron równania.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$