Rozwiąż 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 2x^{2}+ax+bx-15. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 7.

$$a=-3 b=10$$

Przepisz 2x^{2}+7x-15 jako \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

x w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-3=0 i x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, 7 do b i -15 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Dodaj 49 do 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±13}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -7 do 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{6}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±13}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 13 od -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Podziel -20 przez 4.

$$x=-5$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Dodaj 15 do obu stron równania.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odjęcie -15 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

Odejmij -15 od 0.

$$2x^{2}+7x=15$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Podziel \frac{7}{2}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{7}{4}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{7}{4} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{7}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Dodaj \frac{15}{2} do \frac{49}{16}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Uprość.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Odejmij \frac{7}{4} od obu stron równania.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$