Rozwiąż 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 2x^{2}+ax+bx-90. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 3.

$$a=-12 b=15$$

Przepisz 2x^{2}+3x-90 jako \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

2x w pierwszej i 15 w drugiej grupie.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-6, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-6=0 i 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, 3 do b i -90 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Dodaj 9 do 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-3±27}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -3 do 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Podziel 24 przez 4.

$$x=6$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-3±27}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 27 od -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{-30}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Dodaj 90 do obu stron równania.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Odjęcie -90 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Odejmij -90 od 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Podziel 90 przez 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Podziel \frac{3}{2}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{3}{4}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{3}{4} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{3}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Dodaj 45 do \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Uprość.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Odejmij \frac{3}{4} od obu stron równania.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$