Rozwiąż 2x^2+3x-5=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 5 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=1$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 2x^{2}+ax+bx-5. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -10.

$$-1,10 -2,5$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 3.

$$a=-2 b=5$$

Przepisz 2x^{2}+3x-5 jako \left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right)$$

2x w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$2x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-1=0 i 2x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}+3x-5=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, 3 do b i -5 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Dodaj 9 do 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{-3±7}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-3±7}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -3 do 7.

$$x=\frac{4}{4}$$

Podziel 4 przez 4.

$$x=1$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-3±7}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 7 od -3.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{-10}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-5=0$$

Dodaj 5 do obu stron równania.

$$2x^{2}+3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Odjęcie -5 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-5\right)$$

Odejmij -5 od 0.

$$2x^{2}+3x=5$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{5}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Podziel \frac{3}{2}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{3}{4}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{3}{4} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{3}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Dodaj \frac{5}{2} do \frac{9}{16}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Uprość.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Odejmij \frac{3}{4} od obu stron równania.

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$