Rozwiąż 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, 2 do b i 1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Dodaj 4 do -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-2±2i}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -2 do 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Podziel -2+2i przez 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-2±2i}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 2i od -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Podziel -2-2i przez 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Odjęcie 1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Podziel 2 przez 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Podziel 1, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać \frac{1}{2}. Następnie dodaj kwadrat liczby \frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Dodaj -\frac{1}{2} do \frac{1}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Uprość.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$