Rozwiąż 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$2x+y=1$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$2x=-y+1$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Podstaw \frac{-y+1}{2} do x w drugim równaniu: x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Dodaj -\frac{y}{2} do -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Podziel obie strony równania przez -\frac{3}{2}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Pomnóż -\frac{1}{2} przez 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do -\frac{3}{2}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1,y=3$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-1,y=3$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Aby czynniki 2x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Uprość.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Odejmij 2x-2y=-8 od 2x+y=1, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Dodaj 2x do -2x. Czynniki 2x i -2x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$y+2y=1+8$$

Dodaj y do 2y.

$$3y=1+8$$

Dodaj 1 do 8.

$$3y=9$$

Podziel obie strony przez 3.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu x-y=-4. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x-3=-4$$

Dodaj 3 do obu stron równania.

$$x=-1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1,y=3$$