Rozwiąż 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Rozwiąż względem x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$2x+3y=6$$

Odejmij 3y od obu stron równania.

$$2x=-3y+6$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Pomnóż \frac{1}{2} przez -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Podstaw -\frac{3y}{2}+3 do x w drugim równaniu: 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Pomnóż 6 przez -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Dodaj -9y do -5y.

$$-14y+18=4$$

Odejmij 18 od obu stron równania.

$$-14y=-14$$

Podziel obie strony przez -14.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu x=-\frac{3}{2}y+3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Dodaj 3 do -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Aby czynniki 2x i 6x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 6 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Uprość.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Odejmij 12x-10y=8 od 12x+18y=36, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Dodaj 12x do -12x. Czynniki 12x i -12x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$18y+10y=36-8$$

Dodaj 18y do 10y.

$$28y=36-8$$

Dodaj 36 do -8.

$$28y=28$$

Podziel obie strony przez 28.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu 6x-5y=4. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$6x-5=4$$

Dodaj 5 do obu stron równania.

$$6x=9$$

Podziel obie strony przez 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$