Rozwiąż 2x^2-82x+360=0

$$2 { x }^{ 2 } -82x+360 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=5$$

$$x=36$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Podziel obie strony przez 2.

$$x^{2}-41x+180=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx+180. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-41 ab=1\times 180=180$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 180.

$$-1,-180 -2,-90 -3,-60 -4,-45 -5,-36 -6,-30 -9,-20 -10,-18 -12,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-180=-181 -2-90=-92 -3-60=-63 -4-45=-49 -5-36=-41 -6-30=-36 -9-20=-29 -10-18=-28 -12-15=-27$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -41.

$$a=-36 b=-5$$

Przepisz x^{2}-41x+180 jako \left(x^{2}-36x\right)+\left(-5x+180\right).

$$\left(x^{2}-36x\right)+\left(-5x+180\right)$$

x w pierwszej i -5 w drugiej grupie.

$$x\left(x-36\right)-5\left(x-36\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-36, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-36\right)\left(x-5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-36=0 i x-5=0.

$$x=36 x=5$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}-82x+360=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, -82 do b i 360 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{\left(-82\right)^{2}-4\times 2\times 360}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu -82.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-4\times 2\times 360}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-8\times 360}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez 360.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-2880}}{2\times 2}$$

Dodaj 6724 do -2880.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{3844}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 3844.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±62}{2\times 2}$$

Liczba przeciwna do -82 to 82.

$$x=\frac{82±62}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{82±62}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{82±62}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 82 do 62.

$$x=\frac{144}{4}$$

Podziel 144 przez 4.

$$x=36$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{82±62}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 62 od 82.

$$x=\frac{20}{4}$$

Podziel 20 przez 4.

$$x=5$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=36 x=5$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-82x+360=0$$

Odejmij 360 od obu stron równania.

$$2x^{2}-82x+360-360=-360$$

Odjęcie 360 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}-82x=-360$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}-82x}{2}=-\frac{360}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{82}{2}\right)x=-\frac{360}{2}$$

Podziel -82 przez 2.

$$x^{2}-41x=-\frac{360}{2}$$

Podziel -360 przez 2.

$$x^{2}-41x=-180$$

Podziel -41, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{41}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{41}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-41x+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-180+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{41}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=-180+\frac{1681}{4}$$

Dodaj -180 do \frac{1681}{4}.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=\frac{961}{4}$$

Współczynnik x^{2}-41x+\frac{1681}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{41}{2}=\frac{31}{2} x-\frac{41}{2}=-\frac{31}{2}$$

Dodaj \frac{41}{2} do obu stron równania.

$$x=36 x=5$$